主応力
principal stress
粉体を連続体として取り扱う場合，下図に示すような，静置された粉体の任意の内部要素を取り出して二次元の応力釣り合いを考える。想定した任意の面に垂直に作用する応力を $\sigma$ ，せん断応力（剪断応力）を $\tau$ とすると，次式を得る。
\begin{align}
\sigma &= \frac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y}) + \frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta \\[9pt]
\tau &= \frac{1}{2}(\sigma_{x}-\sigma_{y})\sin 2\theta - \tau_{xy} \cos 2\theta
\end{align}
$\sigma$ の最大値，最小値を求めると以下となり，$\sigma$ の最大値 $\sigma_{1}$ を最大主応力，$\sigma$ の最小値 $\sigma_{2}$ を最小主応力という。垂直応力 $\sigma$ が最大または最小の値をとる方向にはせん断応力は働かずゼロとなる。また，両主応力は直交する。
$$
\sigma_{1},\sigma_{2} = \frac{1}{2}(\sigma_{x}+\sigma_{y}) \pm \frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+4{\tau_{xy}}^2}
$$
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